https://educacion.gob.ec/wp-content/uploads/downloads/2016/09/librostexto/Matematica7.pdf
En este texto puedes realizar consulta de las temáticas de desarrolladas en clase a fin de que logres un aprendizaje eficaz y significativo, a través de los contenidos relacionados con tu entorno.
jueves, 9 de agosto de 2018
Proporcionalidad
1- Proporción
Recordemos: Una proporción es la igualdad de dos razones.
1.1- Propiedad fundamental
En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos (Teorema fundamental de las proporciones). Es decir:
Ejemplo: Si tenemos la proporción:
y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda: 3 • 20 = 4 • 15, es decir, 60 = 60.
Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades presentadas como proporción lo son verdaderamente.
2- Proporcionalidad directa
Dos variables (una independiente x y la otra dependiente y ) son directamente proporcionales si el cociente (división) entre los valores respectivos de cada una de las variables es constante.
y / x = k
Además al aumentar o disminuir una de ellas, la otra aumenta o disminuye, respectivamente, en la misma razón.
Ejemplo:
- Indica si las variables son directamente proporcionales
a. La medida del lado de un cudrado y su perímetro:
Respuesta Sí, porque a mayor longitud de sus lados mayor perímetro. (si una variable aumenta la otra aumenta en la misma razón).
Respuesta Sí, porque a mayor longitud de sus lados mayor perímetro. (si una variable aumenta la otra aumenta en la misma razón).
b. El número de trabajadores y los días que se demoran en hacer un trabajo, si todos trabajan de igual manera: Respuesta: No, porque a mayor cantidad de trabajadores menos cantidad de días. (si una variable aumenta, la otra disminuye en la misma razón).
En el caso de las funciones esta proporcionalidad directa se puede representar como una función de la forma
y = k x
Donde:
y : variable dependiente.
x: variable independiente.
k : constante de proporcionalidad.
Por ejemplo: si tenemos la siguiente función:
y = 3 x
La constante de proporcionalidad sería 3.
2.1- ¿Cómo se calcula la constante de proporcionalidad?
Como y = k x entonces: k = y / x
Calcula la constante de proporcionalidad:
| x | 3 | 6 | 7 |
| y | 6 | 12 | 14 |
k = 6 / 3
k = 2
El cociente de las dos magnitudes es siempre el mismo (constante)
k = 2
El cociente de las dos magnitudes es siempre el mismo (constante)
2.2- Gráfico de proporcionalidad directa
El gráfico correspondiente a una relación de proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el punto de origen de un sistema de coordenadas cartesianas.
En una función de prorcionalidad directa, si una de las variables aumenta, la otra tambien aumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra disminuye en un mismo factor.
Ejemplo:
Juan ha utilizado 20 huevos para hacer 4 tortillas iguales. ¿Cuántos huevos necesita para hacer 6 tortillas? ¿Y para hecer 2?
Grafica los resultados hasta 6 tortillas.
Como puedes ver, el gráfico es una línea recta que pasa por el origen. Además si nos fijamos en la tabla, nos podemos dar cuenta que el cociente (división) entre las dos magnitudes (y / x) es constante. En este caso el valor de la constante de proporcionalidad es 5.
3- Proporcionalidad inversa
Dos variables (una independiente x y la otra dependiente y ) son inversamente proporcionales si el producto entre los valores respectivos de cada una de las variables es constante.
( x • y = k )
Además, en una función de proporcionalidad inversa, si una de las variables aumenta, la otra disminuye en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra aumenta en un mismo factor.
Esta relación de proporcionalidad inversa se puede representar como una función de la forma:
y = k / x
Donde:
y : variable dependiente.
x: variable independiente.
k : constante de proporcionalidad.
y : variable dependiente.
x: variable independiente.
k : constante de proporcionalidad.
Ejemplos:
Indica si las variables son inversamente proporcionales.
a) El número de albañiles y el tiempo empleado en hacer el mismo edificio.
Respuesta: Son inversamente proporcionales, ya que con el doble, triple... número de albañiles se tardará la mitad, tercera parte de tiempo en construir el mismo edificio.
b) La velocidad de un auto y el trayecto recorrido en el mismo tiempo.
Respuesta: No es inversa ya que a tiempo constante, con el doble o el triple... de la velocidad, el auto recorrerá el doble, triple... de espacio.
c) La velocidad de un auto y el tiempo empleado en recorrrer el mismo trayecto.
Respuesta: Son inversamente proporcionales, ya que, a espacio constante, con el doble, triple... velocidad, el auto tardará la mitad, tercera parte... de tiempo en recorrerlo.
2.2- Gráfico de proporcionalidad inversa
La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una curva, llamada hipérbola.
La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una curva, llamada hipérbola.
Resumen: Observa el siguiente cuadro comparativo:
Preguntas:
1) Si 5 m de tela valen $8500, ¿cuánto valen 8 m? R: valen $13600
2) Veinte alumnos hicieron una excursión y consumieron 15 botellas de jugo. ¿Cuántas botellas de jugo se habrían consumido, si hubieran ido los 50 alumnos del curso? R: 38 botellas
3) A cierta hora de un día asoleado, una persona, de 1,75 m de altura, proyecta una sombra de 1,25 m de longitud. Calcula la altura de un árbol del lugar que, en el mismo momento, tiene una sombra de 12 m de largo. R: 16,8 metros
4) Una piscina con un largo de 12cm y un ancho de 4cm., dibujada en un plano. Si en la realidad el largo es 36m, ¿cuál es el ancho? R: 12 metros
5) Rosa pesa 48 kilos y José pesa 52 kilos. Dividir una barra de chocolate de 200 gramos en la misma razón que sus pesos. R:96 y 104 gramos
6) Con el dinero que tengo, puedo comprar 20 chocolates a $ 20 cada uno. Si los chocolates suben a $ 25, ¿cuántos podré comprar? R: puede comprar 16 chocolates
7) Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 60 horas, ¿cuántas horas emplearán 42 telares iguales en producir la misma cantidad de tela? R:35 horas, 42 minutos y 52 segundos
8) Dos ruedas dentadas están engranadas. La primera tiene 12 dientes y la segunda 28. ¿Cuántas vueltas habrá dado la segunda, cuando la primera ha dado 84 vueltas? R: 36 vueltas
martes, 7 de agosto de 2018
Comic La Pirámide de Keops
La Pirámide de Keops
La Pirámide de Keops
Cuenta la historia que un sacerdote egipcio le preguntó a Tales de Mileto (s. IV a. C) a cerca de la altura de la Pirámide de Keops, cuando ya las pirámides rondaban los 2.000 años de edad, y éste respondió con un método de lo más ingenioso para medir dicha altura.
La historia dice así:
“Un sacerdote egipcio le pregunta sonriendo cuál puede ser la altura de la pirámide del rey Khufu (la pirámide de Keops). Tales reflexiona y a continuación contesta que no se conforma con calcularla a ojo, sino que la medirá sin ayuda de ningún instrumento. Se echa sobre la arena y determina la longitud de su propio cuerpo.
Los sacerdotes le preguntan qué es lo que está pensando, y Tales les explica: ‘Me pondré simplemente en un extremo de esta línea, que mide la longitud de mi cuerpo, y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante , la sombra de la pirámide de vuestro Khufu también ha de medir tantos pasos como la altura de la pirámide.’
El sacerdote, desorientado por la extrema sencillez de la solución, se pregunta si acaso no hay algún error, algún sofisma, Tales añade: ‘Pero si queréis que os mida esa altura, a cualquier hora, clavaré en la arena mi bastón.”
El método que utilizó Tales de Mileto para calcular la altura de la Pirámide de Keops es lo que conocemos como Teorema de Tales (parece obvio por qué se llama así).
El siguiente esquema nos permite ver el problema en cuestión y cómo calculó Tales la altura de la pirámide clavando su bastón en la arena.
El siguiente esquema nos permite ver el problema en cuestión y cómo calculó Tales la altura de la pirámide clavando su bastón en la arena.
La sombra es la región donde no dan los rayos del sol. Se supone que los rayos que inciden en la pirámide y en el bastón son paralelos (consecuencia de la gran distancia que separa al Sol de la Tierra) y el bastón está clavado perpendicularmente al suelo.
De esta forma, los ángulos de los dos triángulos que observamos en la figura son iguales entre sí y, por tanto, dichos triángulos son semejantes. En dos triángulos semejantes, se cumple que sus lados homólogos son proporcionales.
En nuestro caso, se cumple que:
Supongamos ahora que a una hora determinada del día, la sombra de la pirámide medía 280 metros, la sombra del bastón medía 2,87 metros y dicho bastón era de 1,5 metros. Según lo que hemos visto antes, tendríamos que:
De donde obtenemos:
Que es el valor aproximado que tenía la pirámide de Keops en la antigüedad (actualmente 136,86 m).
El método de Tales tiene una enorme utilidad, puesto que lo podemos emplear para averiguar la altura de cualquier objeto que sea muy grande.
Bienvenidos
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